2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제10회 문제집+해설집 (상 (고난도 변별))

• $n$이 홀수이면 $n - 7$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 7$일 때 $f(n) = 0$, $n = 7$일 때 $f(n) = 1$, $n > 7$일 때 $f(n) = 2$이다.

$n = 2$부터 $n = 11$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=0, \quad f(5)=1, \quad f(6)=0, \\ &f(7)=1, \quad f(8)=2, \quad f(9)=1, \quad f(10)=2, \quad f(11)=1 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 9$이다.

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 32t + k = (t - 16)^2 + k - 256 \ge 0 \quad (t > 0)$$

대칭축 $t = 16 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 16$일 때 최솟값 $k - 256$을 갖는다.
따라서 $k - 256 \ge 0 \implies k \ge 256$이므로 $k$의 최솟값은 $256$이고, 그때 $2^x = 16 = 2^{4}$에서 $x = 4$이다.

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$$

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{5\pi}{6}, \; \dfrac{3\pi}{2}$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $3$개이고, 모든 실근의 합은 $\dfrac{5\pi}{2}$이다.

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 16 \times 10} \\ &= \frac{160}{320}=\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{14}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$이다.

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 7)$$

$$a_{10} = 5 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 7 \times 9 = 5 + 90 + 63 = 158$$

$f(x)$는 $x = 4$과 $x = 6$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 4, \; x = 6$에서 연속이려면 $g(4) = 0, \; g(6) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 4)(x - 6) = x^2 + (-10)x + 24$이므로 $a = -10, \; b = 24$이다.

$f(x) = x^3 + 7x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 7 = b + c \implies b + c = 8$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 7 = 2b \implies b = 5, \; c = 3$

접점의 좌표는 $(1, 8)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 10$이므로
$$y - 8 = 10(x - 1) \implies y = 10x - 2$$

$f'(x) = 3x^2 - 48 = 3(x + 4)(x - 4) = 0$이므로
• $x = -4$에서 극댓값 $f(-4) = -64 + 192 + 64 = 192$
• $x = 4$에서 극솟값 $f(4) = 64 - 192 + 64 = -64$

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -4$에서 극댓값 $192$, $x = 4$에서 극댓값 $|-64| = 64$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $64 < k < 192$이어야 한다.

$v(t) = 3t(t - 8) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 8$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 8$이다.

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{12} |3t^2 - 24t|\,dt \\ &= \int_{0}^{8} (24t - 3t^2)\,dt + \int_{8}^{12} (3t^2 - 24t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[12t^2 - t^3\Big]_{0}^{8} + \Big[t^3 - 12t^2\Big]_{8}^{12} = 256 + 256 = 512$$

$f(x) = x^3 - 3x + 4$에서 $f'(-1) = 0$이므로 점 $(-1, 6)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 6$이다.

방정식 $x^3 - 3x + 4 = 6$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (-1))^2(x - (2)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = -1, \; 2$이다.
$$S = \int_{-1}^{2} \left|(x - (-1))^2(x - (2))\right|\,dx = \frac{(2 - (-1))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$